Question

【初中数学】二元一次方程组 解题方法和习题精炼

Answer 1

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 　　
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 　　
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 　　二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 　
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 　　
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 　　
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 　　
消元的方法有两种： 　　
代入消元法 　　
例：解方程组x+y=5① 　　
6x+13y=89② 　　
解：由①得 　　x=5-y③ 　　
把③带入②，得 　　6(5-y)+13y=89 　　
y=59/7 　　
把y=59/7带入③， 　　
x=5-59/7 　　
即x=-24/7 　　
∴x=-24/7 　　
y=59/7 为方程组的解 　　
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。 　　
加减消元法 　　
例：解方程组x+y=9① 　　
x-y=5② 　　
解：①+② 　　2x=14 　　
即 x=7 　　
把x=7带入① 　
得7+y=9 　　
解得y=-2 　　
∴x=7 　　
y=-2 为方程组的解 　　
像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。 　　二元一次方程组的解有三种情况： 　　
1.有一组解 　　如方程组x+y=5① 　　6x+13y=89② 　　x=-24/7 　　y=59/7 为方程组的解 　　
2.有无数组解 　　如方程组x+y=6① 　　2x+2y=12② 　　因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 　　
3.无解 　　如方程组x+y=4① 　　2x+2y=10②， 　　因为方程②化简后为 　　x+y=5 　　这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法
　　

(一)加减-代入混合使用的方法. 　　
例1, 13x+14y=41 (1) 　　
14x+13y=40 (2) 　　
解:(2)-(1)得 　　x-y=-1 　　x=y-1 (3) 　　
把(3)代入(1)得 　　13(y-1)+14y=41 　　
13y-13+14y=41 　　
27y=54 　　
y=2 　　
把y=2代入(3)得 　　x=1 　　
所以:x=1,
y=2 　　
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. 　　
(二)换元法 　　
例2， (x+5)+(y-4)=8 　　
(x+5)-(y-4)=4 　　
令x+5=m,y-4=n 　　
原方程可写为 　　m+n=8 　　
m-n=4 　　
解得m=6,
n=2 　　
所以x+5=6,
y-4=2 　　
所以x=1,
y=6 　　
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 　　
（三）另类换元 　　
例3， x:y=1:4 　　
5x+6y=29 　　
令x=t, y=4t 　　
方程2可写为：5t+6*4t=29 　　
29t=29 　　
t=1 　　所以x=1,y=4
二元一次方程组的解
　　一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 　　
求方程组的解的过程，叫做解方程组。 　　
一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。
注意 ：
　　二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 　　也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 　　
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 　　☆ 内容提要☆ 　　
一、 基本概念 　　1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 　　2． 分类： 　　
二、 解方程的依据—等式性质 　　1．a=b←→a+c=b+c 　　2．a=b←→ac=bc (c≠0) 　　
三、 解法 　　
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 　　系数化成1→解。 　　
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 　　②加减法 　　
四、 一元二次方程 　　1．定义及一般形式： 　　2．解法：⑴直接开平方法（注意特征） 　　⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式） 　　⑶公式法： 　　⑷因式分解法（特征：左边=0） 　　3．根的判别式： 　　4．根与系数顶的关系： 　　逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 　　5．常用等式： 　　
五、 可化为一元二次方程的方程 　　
1．分式方程 　　⑴定义 　　⑵基本思想： 　　⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ） 　　⑷验根及方法 　
2．无理方程 　　⑴定义 　　⑵基本思想： 　　⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ）⑷验根及方法 　　
3．简单的二元二次方程组 　　由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 　　
六、 列方程（组）解应用题 　　
一概述 　　列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是： 　　
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 　　⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 　　
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 　　
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 　　
⑸解方程及检验。 　　
⑹答案。 　　
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 　　
二常用的相等关系 　　
1． 行程问题（匀速运动） 　　基本关系：s=vt 　　⑴相遇问题(同时出发)： 　　+ = ; 　　
⑵追及问题（同时出发）： 　　若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则 　　
⑶水中航行： ; 　　
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 　　溶液=溶质+溶剂 　　
3．增长率问题： 　　
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 　　
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 　　三注意语言与解析式的互化 　　
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、…… 　　又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。 　　
四注意从语言叙述中写出相等关系。 　　
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。
五注意单位换算 　　
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 　　

二元一次方程组练习题

一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C． +4y=6 D．4x=
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．
6．方程组 的解与x与y的值相等，则k等于（ ）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③ +y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A．

二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
10．在二元一次方程－ x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知 是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以 为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知 的解，则m=_______，n=______．

三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．

18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

19．二元一次方程组 的解x，y的值相等，求k．

20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？

21．已知方程 x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为 ．

22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？

23．方程组 的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组 的解？

24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？

答案：
一、选择题
1．D 解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．
2．A 解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．
3．B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．
4．C 解析：用排除法，逐个代入验证．
5．C 解析：利用非负数的性质．
6．B
7．C 解析：根据二元一次方程的定义来判定，含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．
8．B
二、填空题
9． 10． －10
11． ，2 解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m= ，n=2．
12．－1 解析：把 代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．
13．4 解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，
∴x=1，y=－ ，把 代入方程2x－ky=4中，2+ k=4，∴k=1．
14．解：
解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，
∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；
当x=3，y=2；当x=4时，y=1．
∴x+y=5的正整数解为
15．x+y=12 解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，
此题答案不唯一．
16．1 4 解析：将 中进行求解．
三、解答题
17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，
∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相同的解，
∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－ ．
18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，
∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1
解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．
（若系数为0，则该项就是0）
19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，
∴x=1，y=1．将x=1，y=1代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，
∴k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．
20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－ ．
当x=1，y=－ 时，x－y=1+ = ；
当x=－1，y=－ 时，x－y=－1+ =－ ．
解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，
则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．
21．解：经验算 是方程 x+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．
22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得 ．
（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得 ．
23．解：满足，不一定．
解析：∵ 的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，
如x=10，y=12，不满足方程组 ．
24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，
∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=7时，x=－1；m=－7时x=1

Answer 2

一元一次方程组对你来说so easy,可是再加上一个未知数呢，二元方程你还解得那么得心应手吗？换元法、参数法、代入法你都能熟练运用吗？行程问题、工程问题、增长率问题每一个你都了如指掌吗？如果有那么一点困难的话，赶快看过来吧。
本课程老师将从解题方法和应用实例两方面入手，通过量少而精的练习题让你快速掌握二元一次方程组的应用。