Question

f(x)=arcsinx,求f(0)的n阶导数.

Answer 1

如果学过幂级数，就用幂级数的知识解决。下面给个不用幂级数的方法。
y'=1/根号(1－x^2)，因此
(y')^2*(1－x^2)=1，求导得
2y'y''(1－x^2)+(y')^2(－2x)=0，由于y'不等于0，故有
y''(1－x^2)－xy'=0。求n次导数，利用Leibniz定理得
y^(n+2)+n*y^(n+1)(－2x)+n*(n－1)/2*y^(n)(－2)－xy^(n+1)－ny^(n)＝0。
令x＝0得y^(n+2)(0)＝n^2*y^(n)(0)。
然后利用上面的递推关系式以及y(0)=0，y'(0)=1，可以得到
y^(2n)(0)=0，y^(2n+1)=(2n－1)(2n－3)...1＝(2n－1)!!。