Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f(1)=0，则f（x+1）＜0的解集为

已知f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f(1)=0，则f（x+1）＜0的解集为
答案说是（-∞，-2）∪（-1,0）
要详细的过程，谢谢了

Answer 1

因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)
函数在（0，+∞）为增函数
所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0
此时-x＜-1，f(-x)=-f(x)＜0
即x＜-1时，f(x)＜0
因此f(x+1)＜0，x+1＜-1，x＜-2
另外，由于在（0，+∞）上为增函数
所以0＜x＜1时，f(x)＜f(1)=0
因此f(x+1)＜0，0＜x+1＜1，-1＜x＜0
综上，x＜-2或-1＜x＜0
因此解集为（-∞，-2）∪（-1，0）

Answer 2

F(X)在（0,1）上是增函数，则F(X)在（0,1）上<0,相应的，由于是奇函数，所以在（-1,0）上大于0。
由于F(X)在（1，+∞)>0，根据奇函数特性，显然在（-∞，-1)上小于0 。
综上所述，F(x)<0成立的区间是（-∞，-1)U（0,1），然后由于F(x+1)是F(X)往左移一个单位，所以区间也相应移动一个单位，即（-∞，-2）∪（-1,0）。解毕。

像这种问题，你把函数图象大致画出来，再结合奇函数性质，可以很容易解出来。