Question

设a为实数，已知函数f(x)=1/3x'3-ax'2+(a'2-1)x 若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=x^2-2ax+a^2-1=(x-a-1)(x-a+1)=0, 得两个不同极值点x1=a-1, x2=a+1
方程f(x)=0有三个不等实数根，
则有： 极大值f(x1)>0, 极小值f(x2)<0,
即：
f(x1)=1/3*(a-1)^3-a(a-1)^2+(a^2-1)(a-1)=(a-1)^2[ 1/3*(a-1)-a+a+1]=(a-1)^2*(a+2)/3>0, 得：a>-2且a<>1
f(x2)=1/3*(a+1)^3-a(a+1)^2+(a^2-1)(a+1)=(a+1)^2 [1/3*(a+1)-a+a-1]=(a+1)^2*(a-2)/3<0, 得：a<2且a<>-1
综合得：a∈(-2,-1)U(-1,1)U(1,2)

Answer 2

解：原函数f(x)=1/3x'3-ax'2+(a'2-1)x =x(1/3x^2-ax+a^2-1)，方程f(x)=0，明显
x=0为方程的一个实根。那么只要 1/3x^2-ax+a^2-1=0有两个异于0的实根就行了。
所以要求判别式 (-a)^2-4*(1/3)*(a^2-1)>0，且a^2-1≠0
由(-a)^2-4*(1/3)*(a^2-1)>0 化简得 a^2<4，即-2<a<2。
由a^2-1≠0 得a≠±1
综上有：-2<a<2，且a≠±1
故：方程f(x)=0有三个不等实数根，a的取值范围为：-2<a<2，且a≠±1