Question

已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2012)的值为——

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数
即f(x)=-f(-x)
图像关于直线x=1对称
即f(1+x)=f(1-x)
取x为x-1
既有f(x)=f(2-x)
f(x)=f(2-x)=-f(-(2-x))=-f(x-2)=-f(2-(x-2))=-f(4-x)=-[-f(-(4-x))]=f(x-4)

所以f(x)是周期为4的周期函数
f(0)=-f(-0)可以推出f(0)=0，因为函数是周期为4的函数，所以可得f(4)=0
根据上面的推导过程可以得出f(x)=f(2-x)，当x=0时可得f(0)=f(2)=0,当x=-1时，f(-1)=f(3)=1，f(1)=-f(-1)=-1
因为函数是周期为4的函数，所以
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2012)可化简为503（f(1)+f(2)+f(3)+f(4)）
带入数值可以求得该式值为0

Answer 2

因为定义在R上的奇函数f(x)有f(0)=f(-0)=-f(0),所以f(0)=0
f(1+x)=f(1-x)
f(2+x)=f(-x)=-f(x)，f(2)=-f(0)=0
f(4+x)=f(2+(2+x))=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2012)
=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+...+[f(2009)+f(2010）+f(2011)+f(2012)](共503个方括）
=503[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=503[f(1)-f(0)+f(-1)+f(0)]
= 0

Answer 3

因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又因为f(x)的图像关于直线x=1对称，即就是f(x)的一个对称中心为（0，0），一条对称轴为x=1，所以f(x)是以4 为周期的周期函数，且f(1)=-1，f(2)=0，f(3)=f(4-1)=f(-1)=1，f(4)=0，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，2012/4=503，刚好是503个周期，所以所求值为0