Question

随机变量X与Y相互独立，且X~U(0,1),Y~e(1),试求Z=X+Y的概率密度函数

求会做的朋友，注明过程解析。

Answer 1

因X与Y相互独立，所以联合密度就是两个密度相乘，f(x,y)=e^(-y), 0<x<1, y>0
选y为积分变量，f(z)=∫e^(-y)dy, 关键是积分上下限的确定，由0<z-y<1得z-1<y<z，又y>0，
所以z的分界点为0、1
当0<z<1时，f(z)=∫(0→z)e^(-y)dy=1-e^(-z);
当z≥1时，f(z)=∫(z-1→z)e^(-y)dy=e^(1-z)-e^(-z);
z的其它情形，f(z)=0

Answer 2

因x与y相互独立，所以联合密度就是两个密度相乘，f(x,y)=e^(-y),0<x<1,y>0
选y为积分变量，f(z)=∫e^(-y)dy,关键是积分上下限的确定，由0<z-y<1得z-1<y<z，又y>0，
所以z的分界点为0、1
当0<z<1时，f(z)=∫(0→z)e^(-y)dy=1-e^(-z);
当z≥1时，f(z)=∫(z-1→z)e^(-y)dy=e^(1-z)-e^(-z);
z的其它情形，f(z)=0

Answer 3

因X与Y相互独立，所以联合密度就是两个密度相乘，f(x,y)=e^(-y),0<x<1,y>0
选y为积分变量，f(z)=∫e^(-y)dy,关键是积分上下限的确定，由0<z-y<1得z-1<y<z，又y>0，
所以z的分界点为0、1
当0<z<1时，f(z)=∫(0→z)e^(-y)dy=1-e^(-z);
当z≥1时，f(z)=∫(z-1→z)e^(-y)dy=e^(1-z)-e^(-z);
z的其它情形，f(z)=0

Answer 4

请参考以下图片：