Question

已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若f（

已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值

Answer 1

1）对法则f（x）求导得f ‘（x）=3ax^2+b又由当x=2时有极值得f ‘（2）=12a+b=0又因为f（2）=c-16可得8a+2b+c=c-16列出方程组12a+b=0；8a+2b=-16得a=1，b=-12
2）由f（x）=x^3-12x+c；f ‘（x）=3x^2-12=0时x=+-2又当x=+-2时二阶导f ’‘（2）=12>0;
f ’‘（-2）=-12<0那么当x=2时有极小值x=-2时有极大值又因为极大值为28得f（-2）=28则c=12得f（x）=x^3-12x+12比较f（-3）f（3）和f（2）发现f（2）时有最小值-4

Answer 2

解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，
由于f（x）在点x=2处取得极值，故有f′(2)=0f(2)=c-16​，即12a+b=08a+2b+c=c-16​，
化简得12a+b=04a+b=-8​，解得a=1b=-12​．
（2）由（1）知f（x）=x3-12x+c，f′（x）=3x2-12，
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数；当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．
由此可知f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-16+c．
由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（-3）=21，f（3）=3，f（2）=-4，
所以f（x）在[-3，3]上的最大值为28．