Question

设{an}为等差数列，{bn}为各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，求数列{an/bn}的前...

设{an}为等差数列，{bn}为各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，求数列{an/bn}的前n项和

Answer 1

设公差d,公比q,由已知可得:
[1+2d]+q^4=21
[1+4d]+q^2=13
解方程组得q²=-7/2(舍) q²=4→q=±2 各项为正则q=2 d=2
An=2n-1 Bn=2^(n-1) {Cn}={An}/{Bn}=(2n-1)/[2^(n-1)]
Sn=1+3/2+5/2^2+7/2^3.......+(2n-1)/[2^(n-1)]→(1)
Sn/2=1/2+3/2^2+5/2^4......+(2n-1)/2^n)]→(2)
(1)-(2)整理得
Sn/2=1+1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/[2^(n-2)]-(2n-1)/2^n
=2+1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/[2^(n-2)]-(2n-1)/2^n-1
=2[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n-1
=4[1-(1/2)^n]-(2n-1)/2^n-1
=3-[5-2n]/2^n

Answer 2

设an=a1+（n-1）d
bn=b1q^（n-1）
a1=b1=1
a1+2d+b1q^4=21
a1+4d+b1q^2=13
解得a1=b1=1
d=2
q=2或-2（舍去）
an=2n-1
bn=2^（n-1）
an/bn=（2n-1）/2^（n-1)
S(n)=1+3/2+5/4+……+（2n-1）/2^（n-1)①
2Sn=2+3+5/2+7/4+……+（2n-1）/2^（n-2)②
②-①得Sn=4+1+1/2+1/4……+1/2^（n-2） -（2n-1）/2^(n-1 ）
Sn=4 -（1/2）^（n-2） - （2n-1）/2^(n-1 ）
Sn=4 - （ 4n-3）/2^(n-2）

Answer 3

Sn=6-{(2n+3)/[2^(n-1)]}. n=1,2,3,,,,
通项：
an=2n-1, bn=2^(n-1), n=1,2,3,4,,,