Question

如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°.

（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点.则线段EF与FC的数量关系是_________________；∠EFD的度数为__________；
（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点. 则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系或位置关系？证明你的结论；
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段BD的中点，连结EF、FC，请你完成图3，直接写出线段EF与FC的关系并证明你的结论。

Answer 1

看来（1）（2）你都会了，我只证明第三问：
补图没问题吧？我就直接证明了。
1、过点B作DE的平行线，分别交AC、AE于H、I；延长EF，交BH于G；
2、由BG∥DE，F为线段BD的中点------△BFG≌△DFE-----GF=EF，BG=DE=AE；
3、由BG∥DE-----∠AIH=∠AED=90°；
4、在△AIH和△BCH中，∠AIH=∠AED=90°，∠AHI=∠BHC----------∠EAC=∠GBC；
5、连接GC，在△BGC和△AEC中，BG=DE=AE，BC=AC，∠EAC=∠GBC------△BGC≌△AEC
--------GC=EC，∠ACE=∠BCG------∠ACE+∠GCA=∠GCE=90°-------△GCE为等腰直角三角形，又GF=EF-----EF=FC，EF⊥FC。
证明过程做了适当省略，应该能看明白，祝你取得好成绩!

Answer 2

（1）EF=FC，90°．

（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC
∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，
∴△MDE≌△CAE，
∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，
∴∠MEC=90°，
∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．

追问

请证明（3）

Answer 3

1、过点B作DE的平行线，分别交AC、AE于H、I；延长EF，交BH于G；
2、由BG∥DE，F为线段BD的中点------△BFG≌△DFE-----GF=EF，BG=DE=AE；
3、由BG∥DE-----∠AIH=∠AED=90°；
4、在△AIH和△BCH中，∠AIH=∠AED=90°，∠AHI=∠BHC----------∠EAC=∠GBC；
5、连接GC，在△BGC和△AEC中，BG=DE=AE，BC=AC，∠EAC=∠GBC------△BGC≌△AEC
--------GC=EC，∠ACE=∠BCG------∠ACE+∠GCA=∠GCE=90°-------△GCE为等腰直角三角形，又GF=EF-----EF=FC，EF⊥FC。
证明过程做了适当省略，应该能看明白