Question

请问一条数分里的例题：2sinx/2(1/2+∑ ''这里k是从1到n的'' coskx)是怎样化的？详情如下

2sinx/2(1/2+∑coskx)
=sinx/2+(sin3x/2-sinx/2)+...+[sin(n+1/2)x-sin(n-1/2)x]
=sin(n+1/2)x
第一步化到第二步，以及第二步化到第三步的详解谢谢。

Answer 1

2sinx/2(1/2+∑coskx)
=2sin(x/2)*(1/2+cosx+cos2x+……+cosnx)
=sin(x/2)+2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+……+2sin(x/2)cosnx
因为两角和差：
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb
sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
相减得积化和差：
sin(a+b)-sin(a-b)=2cosa*sinb
因此有
=sin(x/2)+2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+……+2sin(x/2)cosnx
=sinx/2+(sin3x/2-sinx/2)+...+[sin(n+1/2)x-sin(n-1/2)x]
因为共有n项，即有限项故前后相消，剩下首项和尾项
=sin(x/2)-sin(n-1/2)x再用和差化积：
=sin(n+1/2)x
有不懂欢迎追问

Answer 2

解：第一步到第二步用了积化和差公式sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2，
比如第一个式子为2*sinx/2*cosx=sin(x/2+x)+sin(x/2-x)=sin3x/2-sinx/2.以此类推就可以得到上面的式子了。
第二步 sinx/2+(sin3x/2-sinx/2)+(sin5x/2-sin3x/2)...+[sin(n+1/2)x-sin(n-1/2)x] 的中间项都可以抵消的所以得到答案是sin(n+1/2)x。
有问题追问 满意请及时采纳。

Answer 3

看了前面的解答，要么有错误，要么太简单。我的解答如下：
解答：
把∑符号逐项展开，一项一项写出来，得到：
2sinx/2(1/2+coskx)
=2sin(x/2)*(1/2+cosx+cos2x+……+cosnx)
=sin(x/2)+2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+……+2sin(x/2)cosnx
由积化和差公式，有：
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)=sin(a+b)-sin(b-a)
因此，把刚才的式子逐项积化和差：
原式=sin(x/2)+2sin(x/2)cosx+2sin(x/2)cos2x+……+2sin(x/2)cosnx
=sinx/2+(sin3x/2-sinx/2)+(sin5x/2-sin3x/2)+...+[sin(n+1/2)x-sin(n-1/2)x]
注意观察，它们可以相互消掉，最后剩下一项，
得：原式=sin(n+1/2)x

Answer 4

第一步到第二步用了积化和差公式sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2，
比如第一个式子为2*sinx/2*cosx=sin(x/2+x)+sin(x/2-x)=sin3x/2-sinx/2.以此类推就可以得到上面的式子了。
第二步 sinx/2+(sin3x/2-sinx/2)+(sin5x/2-sin3x/2)...+[sin(n+1/2)x-sin(n-1/2)x] 的中间项都可以抵消的所以得到答案是sin(n+1/2)x。