Question

设函数f(x)=a1+a2x+a3x^2+a4x^3+......+anx^n-1，f(0)=1/2，数列{an}满足f(1)=n^2an，（n>=1），求数列{an}

Answer 1

解：
f(0)=1/2=a1
f(1)=a1+a2+a3+...+an=n^2an
令Sn=a1+a2+...+an，则：
Sn=n^2 an
S(n-1)=(n-1)^2 a(n-1) (n>1)
Sn-S(n-1)=an
因此：
an=n^2an-(n-1)^2 a(n-1)
(n^2-1)an=(n-1)^2 a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)
=(n-1)/(n+1)
于是：a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
....
a2/a1=2/1
上述各式相乘：
an=(n-1)!/(n+1)!
=1/[n(n+1)]
=1/n - 1/(n+1)
因此：
an=1/n - 1/(n+1)

Answer 2

a1=f(0)=1/2
f(1)是数列{an}的前n项和Sn，所以Sn=n^2×an。
所以an＝Sn－S(n-1)＝n^2×an－(n-1)^2×a(n-1)，则an/a(n-1)＝(n-1)/(n+1)。
an＝a1×a2/a1×a3/a2×a4/a3×....×a(n-2)/a(n-1)×an/(a(n-1)＝1/2×1/3×2/4×3/5×...×(n-2)/n×(n-1)/(n+1)＝1/[n(n+1)]＝1/n－1/(n+1)

Answer 3

∵函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f（0）=1/2 ，
∴a1=1/2 ，
∵f（1）=n2•an，
∴a1+a2+a3+…+an=n2•an，
又∵an=Sn-Sn=n2•an-（n-1）2•an-1，
∴（n2-1）an=（n-1）2•an-1（n≥2），
an/an-1 =n2-1/(n-1)2 =n+1/n-1
a2/a1 •a3/ a2 •a4 /a3 …an /an-1 =1/3 ×2/4 ×…×n-2/n ×n-1/n+1 ，
an/an-1 =1/3 ×2/4 ×…×n-2/n ×n-1/n+1 ，
∴an=1/n(n+1) ，