Question

关于数学问题

三角形的三条高为什么怎样都会相交?

Answer 1

AD,BE和CF是△ABC的三条高线.
过A,B,C分别作BC,AC,AB的平行线,分别相交于A′,B′,C′
由于有 ACBC′AC′=BC
同理AB′=BC
AB′=AC′
AD⊥BC AD是B′C′的垂直平分线
B′C′‖BC AD⊥B′C′ BE是A′C′的垂直平分线
同理
CF是A′B′的垂直平行线
AD,BE和CF相交于一点(三角形三边中垂线相交于一点)
变式:
如果在 ABCD中,仍有AE⊥BC于E ,AF⊥CD于F,
EH⊥AF于H,FG⊥AE于G,EH与FG相交于M.
那么可以改证∠AME+∠AFE=180°.
若延长AM交EF于N点.利用三角形的三条高线相交于
一点这个事实,由于EH和FG均是△AEF的高线,所以
AN⊥EF.
在四边形MNFH中,∠MNF+∠MHF=90°+90°
∴∠HMN+∠AFE=180°
∴∠AME+∠AFE=180°
若利用有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点在同一个圆上这一事实,可证得:
E,F,H,G四个点在同一个圆上和A,G,M,H四个点在同一个圆上,并连GH再利用圆弧所对的圆周角相等证得∠GFE=∠GHE=∠GAM,∠HFG=∠GEH
∴∠AME+∠AFE=∠AME+∠EAM+∠AEH=180°

Answer 2

三角形的三条边就一定是相交的，高线是向边所做出来的垂线，边相交垂线自然相交，且相交于一点．

Answer 3

AD,BE和CF是△ABC的三条高线.
过A,B,C分别作BC,AC,AB的平行线,分别相交于A′,B′,C′
由于有 ACBC′AC′=BC
同理AB′=BC
AB′=AC′
AD⊥BC AD是B′C′的垂直平分线
B′C′‖BC AD⊥B′C′ BE是A′C′的垂直平分线
同理
CF是A′B′的垂直平行线
AD,BE和CF相交于一点(三角形三边中垂线相交于一点)
变式:
如果在 ABCD中,仍有AE⊥BC于E ,AF⊥CD于F,
EH⊥AF于H,FG⊥AE于G,EH与FG相交于M.
那么可以改证∠AME+∠AFE=180°.
若延长AM交EF于N点.利用三角形的三条高线相交于
一点这个事实,由于EH和FG均是△AEF的高线,所以
AN⊥EF.
在四边形MNFH中,∠MNF+∠MHF=90°+90°
∴∠HMN+∠AFE=180°
∴∠AME+∠AFE=180°
若利用有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点在同一个圆上这一事实,可证得:
E,F,H,G四个点在同一个圆上和A,G,M,H四个点在同一个圆上,并连GH再利用圆弧所对的圆周角相等证得∠GFE=∠GHE=∠GAM,∠HFG=∠GEH
∴∠AME+∠AFE=∠AME+∠EAM+∠AEH=180°

Answer 4

三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。

Answer 5

记得四点共圆可以证明之