Question

已知方程x^2-7x+8=0的两根为x1,x2,求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为(x1)/(x2)和(x2)/(x1).

Answer 1

方程x²－7x＋8=0的两根是x1、x2，则：
x1＋x2=7，x1x2=8
设：所求作的方程的两根是y1、y2，则：
y1=(x1)/(x2)，y2=(x2)/(x1)
则：
y1＋y2=[(x1)²＋(x2)²]/(x1x2)=[(x1＋x2)²－2(x1x2)]/(x1x2)=33/8
y1y2=(x1/x2)(x2/x1)=1
则所求作的方程是：
y²－(33/8)y＋1=0

Answer 2

x²-7x+8=0
x1+x2=7
x1x2=8
设新方程为x²-px+q=0,使两根分别为(x1)/(x2)和(x2)/(x1)
p=x1/x2+x2/x1=(x1²+x2²)/x1x2=[(x1+x2)²-2x1x2]/x1x2=33/8
q=(x1/x2)*(x2/x1)=1
x²-33x/8+1=0即8x²-33x+8=0

Answer 3

x1+x2=7,x1*x2=8
x1/x2+x2/x1=(x1^2+x2^2)/(x1*x2)
=[(x1+x2)^2-2x1*x2)/(x1*x2)
=(8^2-2*7)/7
=50/7
x1/x2*x2/x1=1
∴x^2-50/7x+1=0
7x^2-50x+7=0

Answer 4

设此方程x^2-ax+b=0
则两根满足方程
a=(x1)/(x2)+(x2)/(x1)=(x1^2+x2^2)/(x1x2)=((x1+x2)^2-2x1x2)/(x1x2)=(7^2-2*8)/8=33/8
b=(x1)/(x2)*(x2)/(x1)=1