Question

这个推理题答案是什么啊？

某老师有2个绝顶聪明的学生。某日，老师找到两人做一个游戏：老师从2—99中取出两个整数，把两数的和告诉甲，把两数的积告诉乙。问他们知不知道这两个是什么数？
甲说：我不知道，但我保证乙也不知道。
乙说：我本来不知道的，现在我知道了。
甲说，那我也知道了。
请问，老师取出的是哪两个整数？

Answer 1

4和13

解题思路1：

假设数为
X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据甲第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79.
我们再计算一下B的可能值：
和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...

......
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。

这时候，乙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。

和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,...
和是29能得到的积:54,78...

......
因为甲说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。 那么X和Y分别是4和13。

解题思路2：

说话依次编号为S1，P1，S2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41，因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。

1).假设和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。

2).假设和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。

3).假设和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。

4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。

5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。

6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。

7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。

8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。
综上所述：这两个数是4和13。

Answer 2

看的我一头雾水...表述一点也不清楚