Question

十字相乘法分解因式

2x^2+15x-7

x^3-4xy^2

x^3+4x^2+4x

分别怎么用十字相乘法分解啊

Answer 1

　十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　
　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解
方法
　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　......
　　依此类推
　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)
例：（^2代表平方）
　　a^2x^2+ax-42
　　首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）
　　然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。
　　再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
　　首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。
　　然后，在确定是-7×6还是7×-6.
　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）
　　得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a
　　再算：
　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42
　　正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.
把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！
　　2=1×2=2×1；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1=5 ≠-7
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3=7 ≠-7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3)=-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
　　一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
　　a1 c1
　　╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
　　2 1
　　╳
　　3 -5
　　2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
　　1 -3
　　╳
　　1 5
　　1×5+1×(-3)=2
　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
　　1 2
　　╳
　　5 -4
　　1×(-4)+5×2=6
　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　1 -2
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×（-2）=－3
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2)(2x-2y+1).
　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
　　x^2+2x-15
　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）
　　(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。
　　=(x-3）(x+5）
　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
　　a b
　　╳
　　c d
　　教学重点和难点
　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；
　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.

Answer 2

2x^2+15x-7没法分解， 估计应该是2x^2+15x+7=（2x+1)(x+7)

x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y) 这道题不是十字相乘法的题目
x^3+4x^2+4x =x(x^2+4x+4)=x(x+2)^2 这个也不是十字相乘

Answer 3

。。。。。

Answer 4