Question

设x²+y²=z²，x，y，z为正整数，证明：60整除xyz

Answer 1

如果xyz=0, 结论显然成立
如果公约数(x,y,z)！＝1, 则两边约去公约数
以下假设：xyx!=0, 且 (x,y,z)=1
如果x y z都不是3的倍数，两边除以3的余数是1+1＝1, 不可能。所以3|xyz
如果。。。。。5的倍数，。。。。5.。。。。：（正负1 +正负1＝正负1,，左偶右奇，不可能）所以5｜xyz
如果x y z都是奇数，则两边除以8的余数是1+1＝1，不可能，必有一个是偶数，设为y, 则x,z是奇数（否则(x,y,z）>1). y^2=z^2-x^2除以8余数＝1-1＝0, 所以y是4的倍数。
综上所述：60＝3*5*4｜xyz

Answer 2

假设 z是直角三角形的斜边，x, y是直角三角形的两条直角边，x≤y 。
如果 x,y,z为整数，那么 x=3k, y=4k, z=5k, k为正整数
因此 xyz=3*4*5*k^3=60*k^3
即 60整除xyz.