Question

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R，y∈R),且f(0)≠1。

（1）求证：f(x)是奇函数
（2）设F(x)=f(tan x).求证：方程F(x)=0至少有一个实根；若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根，则n必为奇数。

Answer 1

令x＝y＝0得2f(0)=2f^2(0)，于是f(0)=0。（因为f(0)不为1）。
再令x＝0得
f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=0，因此f(－y)＝－f(y)，
f是奇函数。
显然有F(－x)=f(tan(－x))=f(－tanx)=－f(tanx)=－F(x)，
F(x)在(－pi/2，pi/2)上是奇函数，且F(0)=f(0)=0。
由此知道F(x)=0的实根个数必是奇数。

Answer 2

1、
令x=y=0，则f(0) + f(0)=2f(0)²
∴f(0)=0或f(0)=1(舍)
∴f(0)=0
令x=0，则f(y) + f(-y)=2f(0)f(y) = 0
∴f(-y) = -f(y)
∴f(x)是奇函数

2、
①
当x = 0时，
有F(0)=f(tan 0) = f(0) = 0，满足
∴.方程F(x)=0至少有一个实根0

②
当方程只有一个实根0时，1是奇数，∴满足要求
当方程在(-π/2,π/2)上不止一个实根时
假设x’∈(-π/2,π/2)且x’≠0，且x’也是方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根
则有F(x’) = f(tanx’) = 0
∵x’∈ (-π/2,π/2)
∴ -x’∈(-π/2,π/2) (因为这个区间是关于原点对称的)
又∵F(-x’) = f[tan(-x’)] = f(-tanx’) = - f(tanx’) = 0
∴-x’也是F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根
即：只要一个数是F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根，那么他的相反数也是。
∴n必为奇数

Answer 3

1）x=0,y=0代入 => f(0)=0;
x=0 代入 => f(-y)=-f(y)
2) F(0)=f(tan0)=f(0)=0
F（-x)=f(tan(-x))=f(-tanx)=-f(tanx)=-F(x)
因此F(x)为奇函数，除x=0的根总是成对出现，而F（0）=0，因此n为奇数