Question

在三角形ABC中，角ABC的边分别为abc且满足a＝7，cosB＝1/7.

1.求b的最小值
2.若b＝8.求c及sinC

Answer 1

第一个问题：
方法一：
显然，当AB⊥AC时，b是最小的。此时：
cosB＝AB/BC＝1/7，而a＝BC＝7，∴AB＝1。
由勾股定理，得：b＝AC＝√（BC^2－AB^2）＝√（49－1）＝4√3。
∴b的最小值是 4√3。

方法二：
由余弦定理，有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB，∴b^2＝a^2＋49－2a，
∴b^2－48＝a^2－2a＋1＝（a－1）^2≧0，∴b^2≧48，∴b≧4√3。
∴b的最小值是 4√3。

第二个问题：
过C作CD⊥AB交射线BA于D。
由第一个问题的结论，有：CD＝4√3。
∴由勾股定理，有：AD＝√（AC^2－CD^2）＝√（64－48）＝4。
∵BD＝1，∴点A在BD的延长线上，∴c＝AB＝BD＋AD＝1＋4＝5。

第三个问题：
由余弦定理，有：
cosC＝（BC^2＋AC^2－AB^2）/（2BC×AC）＝（49＋64－25）/（2×7×8）＝11/14。
∴sinC＝√［1－（cosC）^2］＝√（1－121/196）＝√（75/196）＝5√3/14。