Question

已知函数f(x)满足f(x)=1/2x^2-x+e^x

已知函数f(x)满足f(x)=1/2x^2-x+e^x，
若f(x)＞=1/2x^2+ax+b，求(a+1)b的最大值

Answer 1

令g(x)=f(x)-(1/2x^2+ax+b)=e^x-(a+1)x-b>=0
则g'(x)=e^x-a-1
如果-a-1>=0, 即a<=-1, 则g'(x)>0, gmin=g(-∞)<0, 不符
如果-a-1<0, 即a>-1, 则有极小值点x0=ln(a+1), gmin=g(x0)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b>=0
即b<=(a+1)-(a+1)ln(a+1)
故b(a+1)<=(a+1)^2-(a+1)^2ln(a+1)
令t=a+1>0, 即求h(t)=t^2-t^2lnt=t^2(1-lnt)的最大值
h'(t)=t(1-2lnt)=0, 得极大值点：t=e^0.5
hmax=h(e^0.5)=e/2
因此(a+1)b的最大值为e/2

Answer 2

y=exp(x)的切线方程：y=exp(x0)*x+exp(x0)*(1-x0)
若f(x)＞=1/2x^2+ax+b，
可得(a+1)>=0;
0<=b<=1;
且条件变为：exp(x0)>=(a+1);
exp(x0)*(1-x0)>=b;
那么(a+1)*b<=exp(2*x0)*(1-x0)<={[exp(2*x0)+(1-x0)]^2}/4
等号成立条件：exp(2*x0)=(1-x0)
惟一解为：x0=0;
那么a=0;b=1;
max=1;
不懂再问