Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点是（2，0），一条渐进线方程是x－√3y＝0。（1）求双曲线C的方程

已知中心在原点的双曲线C的右焦点是（2，0），一条渐进线方程是x－√3y＝0。（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A（0,-1），求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）由右焦点是（2，0）可得a^2+b^2=c^=4
由渐近线方程，可以设双曲线的方程为x^2-3y^2=k，等式两边同除以k，得出a^2=k,b^2=k/3
k+k/3=4，解出k=3
所以双曲线的方程为x^2-3y^2=3
（2）设交点M(x1,y1)N(x2,y2)
将直线y=kx+m代入双曲线方程，整理得（1-3k^2）x^2-6kmx-(3m^2+3)=0
因为有两个不同的焦点，所以b^2-4ac>0，整理得3k^2-1<m^2
x1+x2=6km/(1-3k^2)
y1+y2=2m/(1-3k^2)
设MN中点为P
P（3km/(1-3k^2)，m/(1-3k^2))
MN的垂直平分线的方程为y=-1/k-1
把P代入MN的垂直平分线方程
整理得4m=3k^2-1<m^2
解得m<0或m>4

Answer 2

1