Question

设4阶矩阵A的秩为3， 为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为（ ）

请具体说明。

Answer 1

就是求出齐次方程组的基础解系和一个特解即可。
注意到定理：若a1，a2是Ax=b的两个不同的解，即Aa1=b，Aa2=b，
则A(a1-a2)=Aa1-Aa2=b-b=0，因此
a1-a2是齐次方程组的解，而A的秩是3，故基础解系的个数为
4-3=1，于是有a1-a2恰好是Ax=0的基础解系。
另外，a1是一个特解，因此通解为
k(a1-a2)+a1，取c=2k即可。因此选A。

Answer 2

A 正确.

因为AX=0的基础解系含 4-r(A)=4-3=1 个解向量
所以 η1-η2 是AX=0的基础解系
故 (η1-η2)/2 也是AX=0的基础解系
所以A正确