Question

设函数f(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f(a)＝f(b)＝0.

设函数f(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f(a)＝f(b)＝0.证明：在（a,b）内至少存在一点§，使2f＇(§)－f(§)＝0

Answer 1

构造函数F(x)=[e^(-x)]*f(x)

则F'(x)=[e^(-x)]*[f'(x)-f(x)]

根据题设条件得F(a)=F(b)=0

故至少存在一点ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0

即在（a,b)内至少存在一点x，使f'(x)-f(x)=0

主要特点

1、构造函数的命名必须和类名完全相同。在java中普通函数可以和构造函数同名，但是必须带有返回值。

2、构造函数的功能主要用于在类的对象创建时定义初始化的状态。它没有返回值，也不能用void来修饰。这就保证了它不仅什么也不用自动返回，而且根本不能有任何选择。而其他方法都有返回值，即使是void返回值。尽管方法体本身不会自动返回什么，但仍然可以让它返回一些东西，而这些东西可能是不安全的。

3、构造函数不能被直接调用，必须通过new运算符在创建对象时才会自动调用；而一般的方法是在程序执行到它的时候被调用的。

Answer 2

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0.

Answer 3

设g(x)=f(x)e^-½x，由题意知个g(x)连续且可导，
又∵g(a)=g(b)=0,由有限增量公式得必有g'(§)=0
g'(§)=(f'(§)e^-½§)-(½f(§)e^-½§)=0
即2f＇(§)=f(§)
证毕。

Answer 4

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Answer 5

答案