Question

急！！！设a>0且a≠1,a为常数,函数f(x)=loga (x-5)/(x+5)

（2）若a=10,x∈（负无穷，-6],请判断f(x)的单调性并证明；并判断f(x)是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，说明理由；
（3）设g(x)=1+loga (x+3),如果方程f(x)=g(x)有两个不同的实根，求a的取值范围。

Answer 1

解：
（1）
原函数为：
f(x)=lg[(x-5)/(x+5)]，令g(x)=(x-5)/(x+5)，g(x)>0则：
设x1,x2∈(-∞，-6]，且x1<x2，所以：
g(x1) -g(x2)
=(x1-5)/(x1+5) - (x2-5)/(x2+5)
=10(x1-x2)/[(x1+5)(x2+5)]
根据假设x1<x2，上式分子小于零，而又因为x∈(-∞，-6]，因此，x1+5<0,x2+5<0
∴g(x1)-g(x2)<0,即：g(x1)<g(x2)，g(x)是增函数
考察函数f(x)=lgx，可知，这是当x>0时，是增函数，根据复合函数的单调性，
x∈(-∞，-6]时，f(x)是增函数
根据增函数的性质，当x=-6时，f(x)取得最大值f(-6)=lg11
(3)
原方程为：
log(a)[(x-5)/(x+5)]=1+log(a)(x+3)=log(a)[a(x+3)]
∴(x-5)/(x+5)=a(x+3)
有：ax^2+(8a-1)x+15a+5=0
△=(8a-1)^2-4a(15a+5)>0
则：a>(-9+4√5)/4或者a<(-9-4√5)/4
又∵a>0
∴a>(-9+4√5)/4