用正交线性替换化下列二次型为标准形,并求出所作的正交线性变换 5
一、解:二次型的矩阵 A=
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3
|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3
r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3
第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3
-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
(不需正交化)
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换
f = -y1^2+2y2^2+5y3^2
二、解: 二次型的矩阵 A =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3单位化得
b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵
所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2
扩展资料:
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换,于是下面4个命题等价
1、σ是正交变换;
2、σ保持向量长度不变,即对于任意α∈V,丨σ(α)丨=丨α丨;
3、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基,那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基;
4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
参考资料来源:百度百科-正交交换
2024-08-07 广告
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3
|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3
r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3
第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3
-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
(不需正交化)
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换
f = -y1^2+2y2^2+5y3^2
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