Question

已知数列｛an｝满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N*)。 (1)求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2（an+1）
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列
所以an+1=2^n
数列｛an｝的通项公式为an=2^n-1

Answer 2

由题可得到 an=2a(n-1)+1
将等式 a(n+1)=2an+1 与 an=2a(n-1)+1 相减，得到：
a(n+1)-an / an-a(n-1) = 2
即｛a(n+1)-an｝是以q=2的等比数列，且 a2-a1=2a1+1-a1=3-1=2
故｛a(n+1)-an｝=2^n
又 a(n+1)=2an+1 即 2an+1-an=2^n
即得到an=2^n-1

Answer 3

这题要用配方法a1=1.a2=2*a1+1=3
a(n+1)=2an+1配方得到
a(n+1)+1=2(an+1)
令bn=an+1,得b(n+1)/bn=2,b1=a1+1=2,bn为首项为2，公比为2的等比数列。bn=2^n.

an=bn-1=2^n-1

Answer 4

(an+1)+1=2(an+1)
所以an+1是以2为公比以2为首项的等比数列
an+1=2^n
an=2^n-1
(2)
4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=(an+1)^bn
4^[b1+b2+b3+...+bn-n]=[2^n]^bn
2^{2*[b1+b2+b3+...+bn-n]}=2^[n*bn]
2*[b1+b2+b3+...+bn-n]=n*bn
2*[b1+b2+b3+...+bn]-2n=n*bn
b1+b2+b3+...+b(n-1)+bn=n*(2+bn)/2
可知bn是b1=2的等差数列
(3)an/a(n+1)=(2^n-1)/(2^(n+1)-1)=(2^n-1)/(2*2^n-1)<(2^n-1)/(2*2^n-2)=1/2
又有an/a(n+1)=(2^n-1)/(2*2^n-1)=[1/2(2*2^n-1)-1/2]/(2*2^n-1)=1/2-1/(2^2*2^n-2)
故有a1/a2+a2/a3+...+an/a(n+1)<n/2