Question

一个高一数学题，请大家帮帮忙，谢谢！

已知三个集合A={x|x²-3x+2=0},C={x|x²-2x+b=0},B={x|x²-ax+(a-1)=0,问同时满足B是A的真子集，C是A的子集的实数a,b是否存在？若存在，求出a,b所有值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

首先要用一元二次方程的判定式判定a,b的范围：
a^2-4(a-1)>=0
(a-2)^2>=0
a为任意实数，B不能为空集
4-4b>=0
b=<1
再解A中的方程：
x^2-3x+2=0
(x-1)（x-2)=0
x=1或x=2
要求B是A的真子集，所以B中值为1或者2或者空集，由于a可以为任意，B不能为空集
同时满足C是A的子集，所以C值可以为1,2，可以为1，可以为2，不可以为空集（满足b=<1即可）
当x=1时，代入B和C
a=1,b=1
当x=2时，代入B和C
a=2.5,b=0
综上：a=1,b=1或a=2.5,b=0

追问

有没有别的解法能说的更明确？

Answer 2

A={1,2}
满足B是A的真子集，C是A的子集
∴x²-2x+b=0只能有唯一解；x²-ax+(a-1)=0有唯一解或未空值
∴4-4b=0，即b=1
a^2-4(a-1)=(a-2)^2=0，即a=2

Answer 3

A={1,2},B={1,a-1},B是A的真子集，则a=2，C是A的子集，则b=1