Question

已知函数f（x）=（（log2为底x的对数）-2）（（log4为底x的对数）-1/2），2≤x≤4

（1）求该函数的值域
（2）若f（x）≤m（log2为底x的对数）对于x属于[2，4]恒成立，求m的取值范围。
急！！！！！！！！！

Answer 1

设t=log2(x), 则2=<x<=4, 1=<t<=2
f(x)=(t-2)(t/2-1/2)=(t-1)(t-2)/2=(t^2-3t+2)/2=[(t-3/2)^2-1/4]/2
t=3/2时，fmin=-1/8
t=1 or 2时，fmax=0
所以f(x)的值域为[-1/8,0]

2)相当于(t-1)(t-2)/2<=mt, 对于1=<t<=2恒成立
即m>=(t^2-3t+2)/(2t)=(t+2/t-3)/2=g(t)
由均值不等式，t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2, 当t=2/t, 即t=√2时取最小值,gmin=(2√2-3)/2。
最大值则区间端点取得：gmax=g(1)=g(2)=0
因此有：m>=0

Answer 2

（1）记y=log2为底x的对数，则(log4为底x的对数)=y/2，从而f(x)=(y-2)(y-1)/2，
又2≤x≤4，所以1≤y≤2，故开口向上的抛物线(y-2)(y-1)最低点为1、2的中点3/2，
f(x)的最小值为(3/2-2)(3/2-1)/2=-1/8，值域为[-1/8, 0]；
（2）当2≤x≤4时，1≤(log2为底x的对数)≤2，而f(x)的值域为[-1/8, 0]，所以m≥0即可。

Answer 3

设t=log2(x), 则2=<x<=4, 即1=<t<=2
又f(x)=(t-2)(t/2-1/2=(t^2-3t+2)/2=[(t-3/2)^2-1/4]/2
则当t=3/2时，fmin=-1/8
当t=1 或者 2时，fmax=0
则f(x)的值域为[-1/8,0]

2)(t-1)(t-2)/2<=mt, 此时 对于1=<t<=2恒成立
即m>=(t^2-3t+2)/(2t)=(t+2/t-3)/2=g(t)
t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2, 当t=2/t, 即t=√2时取最小值,gmin=(2√2-3)/2。
最大值则区间端点取得：gmax=g(1)=g(2)=0
则有：m>=0