Question

已知函数f(x)=ax^2+(a-1)x+3满足f(1-x)=f(1+x),则这个函数的最小值为

Answer 1

已知函数f(x)=ax²+(a-1)x+3满足f(1-x)=f(1+x),则这个函数的最小值为
解：∵f(1-x)=f(1+x)，∴x=1是f(x)的对称轴，即有-(a-1)/2a=1，故a=1/3.于是
f(x)=(1/3)x²-(2/3)x+3=(1/3)(x²-2x)+3=(1/3)[(x-1)²-1]+3=(1/3)(x-1)²+8/3≧8/3
∴minf(x)=f(1)=8/3
作x轴的垂直线x=1，不妨设x>0，那么1-x在x=1的左侧,与x=1的距离=1-(1-x)=x；1+x在x=1的
右侧，与x=1的距离=1+x-1=x，即1-x与1+x是关于x=1对称的两点，且f(1-x)=f(1+x)，∴x=1是
函数f(x)的对称轴。

Answer 2

很显然 对称轴为 x=1
f(x)图像的对称轴为 x=-(a-1)/2a=1
a=1/3
f(x)min=f(1)=a+a-1+3=2a+2=8/3

追问

为什么对称轴为1

追答

f(1-x)=f(1+x)
这个式子就表示对称轴为1

追问

= = 原谅我的愚蠢，，我还是不懂 为什么这个式子就是表示对称轴为1

追答

可以假设X1＝1＋m，x2＝1－m，则x1和x2关于x＝1对称，f(1-x1)=f(1+x2)=f(-m), 即函数值也相等，故对称。