Question

如图，在正方形ABCD中，在边BC上有一点P，连接AP，过点P做EF垂直PA，分别交直线DC,AB于点E,F猜想线段CE,BF

如图，在正方形ABCD中，在边BC上有一点P，连接AP，过点P做EF垂直PA，分别交直线DC,AB于点E,F猜想线段CE,BF与PB之间的关系

Answer 1

证明：
∵ABCD为正方形
∴PC+PB=BC=AB

∵AP⊥EF,CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中，∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴PB/PC=BF/CE
∴PC*BF=PB*CE

∵PA⊥EF，PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中，PB是斜边AF上的高
∴PB^2=AB*BF=BC*BF=(PB+PC)*BF=PB*BF+PC*BF=PB*BF+PB*CE=PB*(BF+CE)
∴BP=EC+BF

追问

可不可以不用相似证，步骤我能看懂，但初二还没学到不让用。大概使用面积法倒

Answer 2

相似三角形
BF/BP=CE/CP

追问

是三条线段之间的关系，要是如此简单我就不问了

追答

好吧。
PB×PB=AB×BF，所以AB=PB×PB÷BF
PC=AB-PB=PB×PB÷BF-PB
又因为BF/PB=CE/CP
所以 BF/PB=CE/(PB×PB÷BF-PB)
三条线段了，再化简一下就OK了
最后的结果是 CE+BF=PB

追问

可不可以不用相似
证

Answer 3

没图

Answer 4

解：BF、EF、ED三条线段之间的数量关系是：BF+EF=ED．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵BF⊥AK于F，DE⊥AK于E，
∴∠BFA=∠AED=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵在△ABF和△DAE中： ∠AED=∠BFA ∠3=∠2 AD=BA ，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
∵AF=AE+EF，
∴BF+EF=ED．

Answer 5

CE:BF=PC:BP