Question

给定二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),已知不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）

（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x）的最大值为正数，求a的取值范围

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Answer 1

f(x)+2x=ax^2+(b+2)x+c>0的解集为（1，3），则有：a<0, 1+3=-(b+2)/a, 1*3=c/a
即：b=-4a-2, c=3a
1)f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0有两个相等实根，则有：b^2-4a(c+6a)=0
故 （-4a-2)^2-4a(3a+6a)=0
5a^2-4a-1=0
(5a+1)(a-1)=0
a=-1/5, 1
因为a为负数，所以只能取a=-1/5
故b=-4a-2=-6/5, c=3a=-3/5
f(x)=-x^2/5-6x/5-3/5

2)f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a=a[ x-(2a+1)/a]^2+3a-(2a+1)^2/a
因为a<0,所以最大值为3a-(2a+1)^2/a>0
即：3a^2-(2a+1)^2<0
a^2+4a+1>0
a>-2+√3, a<-2-√3
由于 a<0, 综合得a的范围：
-2+√3<a<0, 或a<-2-√3.

Answer 2

一楼的答案要取a>0的值