Question

高中数学——立体几何问题——圆柱和球体

已知两个半径为1的大球面相切，且都与半径为1的圆柱内面相切，另一个小球面与这两个大球面都外切，且与圆柱内切，过小球球心和大球球心的平面与圆柱面相交成一个椭圆，求e的最大值（离心率）？？？

能否给个图，为什么小秋的半径为1/4

Answer 1

已知两个半径为1的大球面相切，且都与半径为1的圆柱内面相切，另一个小球面与这两个大球面都外切，且与圆柱内切，过小球球心和大球球心的平面与圆柱面相交成一个椭圆，求e的最大值

解：设一个大球的球心为A，两个大球的切点为B，小球球心为C，过A、C可以作很多平面，这些平面与圆柱的交线都是椭圆；但使离心率e最大的椭圆只有一个，这个椭圆的短半轴b=圆柱半径1；椭圆的长半轴a=AD(如图示).设小球半径为r；那么在△ABC中，AC=1+r，AB=1;BC=1-r，故在RT△ABC中有等式：(1+r)²=(1-r)²+1，即有1+2r+r²=1-2r+r²+1，于是得r=1/4.

sin∠CAD=BC/AC=(1-1/4)/(1+1/4)=3/5，故a=AD=1/sin∠CAD=5/3；c=√[(5/3)²-1²)=4/3

∴椭圆最大的离心率e=c/a=(4/3)/(5/3)=4/5

 

Answer 2

过小球球心和大球球心的平面是指过一个大球的。

自己算吧就是1/4