Question

已知函数f(x)=f’(1)e^(x-1)- f(0)x+1/2x^2,(1)求f(x)的解析式及单调区间。（2）若f(x)≥1/2x^2+ax+b,求（a

已知函数f(x)=f’(1)e^(x-1)- f(0)x+1/2x^2,(1)求f(x)的解析式及单调区间。（2）若f(x)≥1/2x^2+ax+b,求(a+1)b的最大值。

Answer 1

f(0)=f'(1)/e

f'(x)=f'(1)e^(x-1)-f(0)+x

f'(1)=f'(1)-f(0)+1=f'(1)-f'(1)/e+1
解得
f'(1)=e
f(0)=1
f(x)=e^x-x+1/2 x^2
令 f'(x)=e^x+x-1=0 解得 x=0
f''(x)=e^x+1>0, f'(x)单调递增
x>0 f'(x)>0 f(x)单调递增
x<0 f'(x)<0 f(x)单调递减

(2)
f(x)=e^x-x+1/2 x^2 ≥ 1/2x^2+ax+b
e^x - x≥ax +b
e^x-(a+1)x-b≥0
记 g(x)=e^x-(a+1)x-b
g'(x)=e^x-(a+1)

a+1<0 g'(x)恒大于0 g(x)单调递增 g(-∞)=-∞ 不符题意
a+1=0 g(x)>0恒成立 则b≤0, (a+1)b=0
a+1>0 哎呀 不想做了 反正最后(a+1)b 最大为e/2

Answer 2

分母不是有x吗？怎么可以有f（0）？？楼主确定题目没写错？？