Question

有一个问题，求帮忙

已知：函数f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的导函数
（1）求函数F（x）=f（x）×f'(x）的最大值和最小正周期。
（2）若f（x）=2f'（x），求（1+sin^2 （x））/（cos^2（x）—sinxcosx）的值。

Answer 1

）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=
2sin(2x+
π4)+1
当2x+
π4=2kπ+
π2⇒x=kπ+
π8(k∈Z)时，[F(x)]max=
2+1
最小正周期为T=
2π2=π

追问

那第二问呢？

追答

由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=
13
∴1+sin2xcox2x-sinxcosx=
2sin2x+cos2xcos2x-sinxcosx=
2tan2x+11-tanx=
116；

Answer 2

1）求函数F（x）=f（x）×f'(x）的最大值和最小正周期。
F（x）=f（x）×f'(x）=cos2x 最小正周期是π
（2）若f（x）=2f'（x），求（1+sin^2 （x））/（cos^2（x）—sinxcosx）的值
sinx+cosx=2cosx-2sinx
tanx=1/3
(1+sin^2 （x））/（cos^2（x）—sinxcosx）=2