Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+3bx+c,h(x)=f(x)+2为R上的奇函数,曲线y=f(x)在? P(0,f (0))处的切线斜率为1.

(1)求a,b,c的值

2)证明:x>0时,f(x)≥x^3-x^2+2lnx
解不等式|2x+1|-|x-4|>2

Answer 1

（1）首先h(x)为奇函数，可得h(0)=0,即f(0)+2=c+2=0,则c=-2；
则奇函数h(x)=x^3+ax^2+3bx,则奇函数项中肯定不含偶函数项，即不含x^2项，则a=0；
则奇函数h(x)=x^3+3bx，又有函数在一点切线的斜率等于函数在该点的导数，于是h'(0)=3*0^2+3b=1,则b=1/3.
（2）由一，f(x)=x^3+x-2，令g(x)=f(x)-[x^3-x^2+2lnx]=x^2+x-2lnx-2,则g'(x)=2x-2/x+1。已知g(1)=0,然后求导根据增减性自己算吧。
（3）对于这一类问题，最安全的办法就是分类讨论，x<=-1/2；-1/2<x<=4；x>4；

Answer 2

∵h(x)=f(x)+2
∴h(x)=x^3+ax^2+3bx+c+2
又∵h(x)是奇函数
∴h(x)=0即c+2=0
∴c=-2
∴f(x)=x^3+ax^2+3bx-2
f’(x)=3x+2ax+3b，f’(0)=3b=1
∴b=1\3
∴h(x)=x^3+ax^2+x
∵h(x)是奇函数
∴h(-1)=-h(1)
∴a=0

Answer 3

1. 这是一个错题，原因如下：因为函数f(x)=x^3+ax^2+3bx+c为R上的奇函数，所以f（0）=0
所以c=0.又因为h(x)=f(x)+2，所以h(x)=x^3+ax^2+3bx+c+2=x^3+ax^2+3bx+2这个函数不可能是R上的奇函数
2. 利用零点分区间讨论法;