Question

帮我看看这道数分题怎么做？完全不懂啊，球坐标变换是怎么回事呀 范围怎么确定？ 他的雅格比是哪个？谢谢！

Answer 1

很显然x²+y²+z²≤ R²和x²+y²+z²≤ 2Rz 二者独自所组成的立体图形都是一个球体，
而在z=0.5R时，这两个球体相交，
在积分函数和区域是一个球体的时候，使用球坐标来对三重积分进行计算比较简单

令x=r*sinφcosθ
y=r*sinφsinθ
z=r*cosφ
很显然x²+y²+z²=r²，

雅可比行列式是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式，在这里
∂(x,y,z)/∂(r,φ,θ)
=∂x/∂r ∂x/∂φ ∂x/∂θ
∂y/∂r ∂y/∂φ ∂y/∂θ
∂z/∂r ∂z/∂φ ∂z/∂θ

=sinφcosθ r*cosφcosθ -r*sinφsinθ
sinφsinθ r*cosφsinθ r*sinφcosθ
cosφ -r*sinφ 0 提出第2列的r 和第3列的r*sinφ

=r² *sinφ * 行列式 sinφcosθ cosφcosθ -sinθ
sinφsinθ cosφsinθ cosθ
cosφ -sinφ 0
由3阶行列式的计算公式（对角线法则）很容易得到
行列式 sinφcosθ cosφcosθ -sinθ 的值
sinφsinθ cosφsinθ cosθ
cosφ -sinφ 0
=(cosφ)²(cosθ)²+(sinφ)²(sinθ)²+(sinθ)²(cosφ)²+(sinφ)²(cosθ)²
=1

于是
∂(x,y,z)/∂(r,φ,θ)=r² *sinφ
即∫∫∫f(x,y,z) dxdydz=∫∫∫f(r*sinφcosθ,r*sinφsinθ,r*cosφ) r² *sinφ drdφdθ

r,φ,θ的范围就用题目所给的函数式子来推导

在z=0.5R时，这两个球体相交
即r*cosφ=0.5R，
于是得到0.5≤cosφ，所以x²+y²+z²≤ R² 时 φ的范围是[0，π/3]
而x²+y²+z²≤ 2Rz 时 φ的范围是[π/3，π/2]

对于x²+y²+z²≤ R²，
即r²≤ R²，
得到r的范围是[0，R]

而对于x²+y²+z²≤ 2Rz
即r²≤ 2Rz =2R*r cosφ，r≤ 2Rcosφ
得到r的范围是[0，2Rcosφ]

显然对于两个积分θ的范围都是[0，2π]

故
原三重积分
= ∫(上限2π,下限0)dθ ∫(上限π/3,下限0) sinφdφ ∫(上限R,下限0) r^4 dr
+∫(上限2π,下限0)dθ ∫(上限π/2,下限π/3) sinφdφ ∫(上限2Rcosφ,下限0) r^4 dr

后面的具体计算我就不写了啊，不明白在追问我啊