Question

a.b.c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）

一，若c的模=2根5，且c//a，求c的坐标。二，若b的模=2分之根5，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角X

Answer 1

第一个问题：
设向量c＝（m，n）。
∵向量a＝（1，2），又向量c∥向量a，∴m＝n/2。
∵｜向量c｜＝√5/2，∴√（m^2＋n^2）＝√5/2，∴√［（n/2）^2＋n^2］＝√5/2，
∴（√5/2）｜n｜＝√5/2，∴｜n｜＝1，∴n＝1，或n＝－1。
由n＝1，得：m＝1/2；　由n＝－1，得：m＝－1/2。
∴向量c的坐标是（1/2，1），或（－1/2，－1）。

第二个问题：
设向量b＝（p，q）。
∵向量a＝（1，2），
∴向量a＋2向量b＝（1＋2p，2＋2q）、2向量a－向量b＝（2－p，4－q）。
∵（向量a＋2向量b）⊥（2向量a－向量b），∴（向量a＋2向量b）·（2向量a－向量b）＝0，
∴（1＋2p）（2－p）＋（2＋2q）（4－q）＝0，
∴2＋3p－2p^2＋8＋6q－2q^2＝0，∴2p^2＋2q^2－3p－6q－10＝0。······①

∵｜向量b｜＝√5/2，∴√（p^2＋q^2）＝√5/2，∴p^2＋q^2＝5/4。······②
将②代入①中，得：5/2－3p－6q－10＝0，∴3p＝6q－15/2，∴p＝2q－5/2。······③
将③代入②中，得：4q^2－10q＋25/4＋q^2＝5/4，∴q^2－2q＋5/4＝1/4，∴q^2－2q＋1＝0，
∴（q－1）^2＝0，∴q＝1。
将q＝1代入③中，得：p＝2－5/2＝－1/2。
∴向量b＝（－1/2，1）。

∴cosx
＝（向量a·向量b）/（｜向量a｜｜向量b｜）
＝（－1/2＋2）/｛［√（1＋4）］［√（1/4＋1）］｝
＝（3/2）/（5/2）＝3/5。
∴x＝arccos（3/5）。