Question

高手指教:一道高中物理竞赛题

有一个小球 从120m高自由落下 每次地面再弹起 速度都为原速度的一半 问从开始落下到最后停止 小球走过的总路程和运动的总时间分别为多少?(题上没附答案)
最好详细点有过程哦~先谢谢了

Answer 1

每次弹起后速度减为原来一半，动能减为上一次的1/4。
根据机械能守恒，每次弹起的高度也是前一次的1/4。
因此路程是一个数列。把每次弹起后又回到原地的路程看做一项，则

S0 = 120
S1 = 2* S0/4 = 60
S2 = S1/4 = 15
S3 = S2/4
S4 = S3/4
……
Sn = S(n-1)/4

总路程 L = S0 + (S1 + S2 + …… + Sn)
= S0 + S1 * [1 - (1/4)^n]/(1- 1/4)
= 120 + 60 * (1 - 1/4^n)/(3/4)
= 120 + 80 * (1 - 1/4^n)

当n趋近无穷大时， 1/4^n 趋近于0。
L = 120 + 80 * (1-0) = 200 米

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弹起的高度h和弹起时间t之间的关系为
h = g*t^2/2
t^2 = 2h/g
t = √(2h/g) = √(S/g)
而弹起所用的时间和下落所有的时间是相同的，所以时间数列为
t0 = √(2S0/g)
t1 = 2*√(S1/g)
t2 = 2 * √(S2/g) = √(S1/g) = t1/2
t3 = 2 * √(S3/g) = √(S2/g) = t2/2
t4 = t3/2
……
tn = t(n-1)/2

因此总时间
T = t0 + (t1 + t2 + …… + tn)
= t0 + t1 * [1 - (1/2)^n]/(1 -1/2)
= t0 + 2 * t1 * (1 - 1/2^n)
当n趋近无穷大时，
T = t0 + 2 * t1 * (1 - 0)
= t0 + 2*t1
其中 t0 = √(2S0/g) = √(2*120/10) = √24 = 2√6
t1 = 2 * √(S1/g) = 2 * √(60/10) = 2√6

T = 2√6 + 2 * 2√6 = 6√6 秒 = 14.7秒

Answer 2

1、高处下落到地面S1=120m；

2、弹起后速度大小为落地时的一半，假设落地速度为V0，弹起速度为V1，则V1=0.5*V0；下落和上升的过程都是动能和势能之间的转换，再次之间能量守恒，只有落地弹起的过程能量减少，根据能量守恒定律，
mgS1=0.5m*（V0平方），mgS2=0.5m（V1平方），根据V1=0.5*V0得出，弹起高度S2=0.25S1=30m；第二次下落也是30m；

3、以此类推，第二次弹起和第三次下落高度都是7.5m；

得出规律，除第一次下落120m，以后每次弹起和下落分别是30m，0.25*30m，0.25*0.25*30m，最后弹起和下落均为0，这是一个无穷等比递缩数列，所有项和为S=a1/(1-q)；S=30+7.5+....+0=30/(1-0.25）=40m；那么弹起和下落都是40m；

最后总高度为L=120m+2*40m=200m。

Answer 3

1+a+a^2+…=(1-a^n)/(1-a) (n->∞)=1/(1-a) (当|a|<1)
h=v^2/2g∝v^2 每次弹起再落地的路程递减(1/4)
t^2=2h/g =>t∝v每次弹起再落地的时间递减(1/2)
易得第一次落地的距离为120m, 第一次落地的时间是2√(6) s
总路程= 2*120*[1+(1/4)+(1/4)^2+…]-120=200m (利用第一行公式，并减去事先加上去的由地面到自由落体地点的120m
总时间= 2*2√(6) [1+(1/2)+(1/2)^2+…]- 2√(6)＝6√(6)s

Answer 4

我不喜欢给人答案,.
直接给你过程,自己去想

120m掉下来时间多少?我设a
弹起来的速度变一半了,那么平均速度变多少(一半),时间变多少(一半,速度除以G),那么弹的高度多少(1/4)

最后等比数列求和
时间,a+1/2a(起来)+1/2a(掉下去)+1/4a+1/4a+....=3a
路程,120+1/4*120+1/4*120+1/16*120+1/16*120+...=200m

Answer 5

由题意得 无空气阻力
设每次速度减半的位移成等比数列{an}
(因为除第一次外，以后的每次来回的路程都是下落高度的2倍，所以我们先将第一次除外)
a1=30m q=1/4（用基本公式推）
an=30*(1/4)^(n-1)
Sn={30*[1-(1/4)^n]}/(1-1/4)
总路程=Sn*2+120
每次速度成等比数列{vn}
v1=〔√(240g)〕／2 q=1/2
vn=〔√(240g)*(1/2)^(n-1)〕／2
tn=总路程/(vn/2)
总时间＝
都比我做的快．．极限思想