Question

已知a.b.c均为非零实数，且a+b+c不等于0，若a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

Answer 1

解：因为a.b.c均为非零实数，且a+b+c不等于0，若a+b-c/c=a-b+c/b=-a+b+c/a
所以（a+b-c）/c=a/c+b/c-1；（a-b+c）/b=a/b-1+c/b；（-a+b+c）/a=-1+b/a+c/a；
那么有（a+b/c=（a+c）/b=（b+c）/a；
即ab+b²=ac+c²..........①；
a²+ac=b²+bc..........②；
a²+ab=bc+c ²..........③；
由①有：(b+c)(b-c)=-a(b-c)..........④；
由②有：(a+b)(a-b)=-c(a-b)..........⑤；
由③有：(a+c)(a-c)=-b(a-c)..........⑥；
若a≠b,b≠c，a≠c；那么，
由④⑤⑥有:a+b=-c；a+c=-b；b+c=-a；
所以(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1；
若a=b=c；那么，(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8.

Answer 2

(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=(a+b+c)/(a+b+c)=1
∴a+b=2c a+c=2b b+c=2a
∴a=b=c
∴(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=8

Answer 3

8