Question

线性代数问题，设A=（1 2 2 2 1 2 2 2 1 ）求A的特征值及对应的特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ
令其行列式等于0，即
1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ 第3行减去第2行

=
1-λ 2 2
2 1-λ 2
0 1+λ -1-λ 第2行加上第3行
=
1-λ 4 2
2 3-λ 2
0 0 -1-λ 按第3行展开
=(-1-λ) [(1-λ)(3-λ) -8]
=0

化简得到：(-1-λ)(λ+1)(λ-5)=0，
所以方阵A的特征值为：λ1=λ2= -1，λ3=5

当λ= -1时，
A+E=(2，2，2 ～ (1，1，1
2，2，2 0，0，0
2，2，2) 0，0，0）
得到其两个基础解系为
p1= 1 p2= 1
-1 0
0 -1
当λ=5时，
A-5E=( -4，2，2 ～ (1，0，-1
2，-4，2 0，1，-1
2，2，-4) 0，0，0)
得到其基础解系为
p3= 1
1
1

所以这个三阶矩阵的特征值为：λ1=λ2= -1，λ3=5
其对应的特征向量分别是
p1=1 p2=1 p3=1
-1 0 1
0 -1 1