Question

一道有关数列的题目

数列{an}，a1=1，前n项和Sn=n*n*an(n的平方，再乘an），求Sn和an

Answer 1

答案应该是:an=2/(n*(n+1))
Sn=2*n/(n+1)
解答如下：
Sn=n*n*an=an+S(n-1)
又S(n-1)=(n-1)*(n-1)*a(n-1)
所以:n*n*an=an+(n-1)*(n-1)*a(n-1)
所以:an=a(n-1)*(n-1)^2/(n^2-1)
用平方差公式化简得:
an=a(n-1)*(n-1)/(n+1) (其中n>1,n为自然数)
a1=1
化简an=2/(n*(n+1))
由于n是变动的所以绝对不是等比数列.
Sn=n*n*an=n^2*(n-1)/(n+1)*a(n-1)=n^2*(n-1)/(n+1)*(n-2)/(n)*a(n-2)
=n^2*(n-1)/(n+1)*(n-2)/(n)*(n-3)/(n-1)*a(n-3)……
化简得：Sn=2*n/(n+1)

Answer 2

Sn=n^2*an
S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
两式相减
Sn-S(n-1)=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
(n^2-1)an=(2n-1)*a(n-1)
即an/a(n-1)=(2n-1)/(n^2-1)
所以an是以(2n-1)/(n^2-1)为公比的等比数列

a1=1，S2=a1+a2=2^2*a2,1+a2=4a2
所以a2=1/3
即公比q=a2/a1=1/3
所以数列an是首项为1，公比为1/3的等比数列

那么an=(1/3)^(n-1)
Sn=3/2(1-1/3^n)

Answer 3

an=2/{3n(n+1)} sn=2n/{3(n+1)}

Answer 4

用A表示a 其他下标
Sn=n*n*An
Sn-1=(n-1)*(n-1)*An-1
两个相减
n^2*An-(n-1)^2*An-1=Sn-Sn-1=An

整理得(n^2-1)*An=(n-1)^2*An-1

An/An-1=(n-1)/(n+1)
当n=2时 A2=1/3
同理得A3=1/6
因为A1=1,所以An=An/A1
即
An=(An/An-1)*(An-1/An-2)*....(A2/A1)=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*(n-3)/(n-1)*...
(错开两位约去相同)
An=1/(n+1)*1/n*1/6*1/3=1/(18n*(n+1))
Sn=n/(18(n+1))

Answer 5

S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
Sn-S(n-1)=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
(n^2-1)an=(n-1)^2*a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)^2/(n^2-1)=n-1/n+1
他并不是等比数列！

Answer 6

S(n+1)=(n+1)^2*a(n+1) 1

Sn=n*n*an 2
1-2:得a(n+1)={n/(n+2)}*an
那么,a(n+1)=n/(n+2)*(n-1)/(n+1).....1/3*a1
=2/{(n+2)(n+1)}
所以,an=2/n(n+1)=2{1/n-1/(n+1)}
Sn= 多少得出来了吧,