Question

定积分的几何意义到底是面积 体积 还是面积 体积的代数和？ 为什么有的时候有绝对值 有的时候是负的

定积分的几何意义到底是面积 体积 还是面积 体积的代数和？ 为什么有的时候有绝对值 有的时候没有
为什么时候有正 有的时候是负的？

Answer 1

应该这么说
（1）当曲线在x轴上方时，定积分算出来的值，与曲线下方、x轴上方以及积分限之间所围区域的面积恰好相等；这个时候可以说定积分的几何意义就是面积。
（2）而当曲线在x轴下方时，定积分算出来的值与曲线上方，x轴下方以及积分限之间所围区域的面积相差一个符号，因此严格地说定积分的几何意义就是面积并不完全正确，但是它又确实与面积有很大的关系，因为只是符号的差别，所以一般就说定积分的几何意义是面积。
而当曲线有些部分在x轴上方，有些在下方时，因为面积总是正的，而定积分算出来的值，在x轴上方为正，下方为负，由前面讨论的（1）（2）两点知，定积分算出来的值应该等于曲线在x轴上下两部分面积的代数和。

Answer 2

对一元函数的定积分就是下围面积，对二元的就是体积。
以上的情况都是对于函数值在坐标轴上方的情况；如果函数值都是负的，那就需要加绝对值；如果函数值有正有负那就分段考虑

Answer 3

一重积分求的是面积，二重积分求体积。
至于政府的问题，与积分域和曲线的形状有关系。

Answer 4

面积，求出的数为负数时才有求绝对值，根据图像分析