Question

高中数学集合相关问题

问题
① A∩Φ=Φ；A∩B ⊆ A；A∩B⊆B；若A⊆B，则A∩B=A
问题
②A∪Φ=A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）；若A⊆B，则A∪B=B

问题
③A⊆B→A∩B=A；A⊆B→A∪B=B
问题
④设A={X|x²+4X=0｝，B=｛X²+2（a+1）+a²-1=0｝，如果A∩B=B求a的取值范围？
该解题步骤中为什么：B为空集时
X²+2（a+1）x+a²-1=0， 判别式<0
4A^2+8A+4-4A^2+4<0
A<-1 请说详细点。拜托给位了，感激不尽~~
这是
预习高一数学不懂的部分
集合相关概念和1个例题应该不难~~
问题①为什么A∩Φ=Φ；A∩B ⊆ A；A∩B⊆B；若A⊆B，则A∩B=A
问题②为什么A∪Φ=A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）；若A⊆B，则A∪B=B
问题③为什么A⊆B→A∩B=A；A⊆B→A∪B=B
问题④设A={X|x²+4X=0｝，B=｛X²+2（a+1）+a²-1=0｝，如果A∩B=B求a的取值范围？
该解题步骤中为什么：B为空集时
X²+2（a+1）x+a²-1=0， 判别式<0
4A^2+8A+4-4A^2+4<0
A<-1 请说详细点。拜托给位了，感激不尽~~

Answer 1

问题①
交集∩的含义是两个集合的公共部分，包含于⊆的含义是左侧集合的元素全部在右侧集合中
空集没有元素，那么任何集合和空集的交集都是空集
A∩B是A、B的公共部分，这一部分中的元素肯定在A中也在B中，所以A∩B包含于A也包含于B
若A⊆B，A的元素全都在B中，那么A∩B表示AB的公共部分，恰好就是A

问题②
并集∪的含义是两个集合放在一起合在一起。
空集中没有元素，所以它跟所有集合合并后就还是那个集合
A与B合并之后的集合满足A和B的元素都在这个并集中，所以A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）
若A⊆B，A的元素全都在B中，那么A∪B表示AB合并，恰好就是B

问题③
这个问题上面已经提到过啦，若A⊆B，A的元素全都在B中，那么A∩B表示AB的公共部分，恰好就是A，A∪B表示AB合并，恰好就是B

问题④
问题③解决之后我们看到A∩B=B就说明B⊆A
解A的方程得到A中只有两个元素，0和-4
B包含在A里，那么B要么没有元素，要么有0或4或者都有
没有元素的话是B对应的二次方程无解，无解的话根据二次方程的结论就是判别式<0
对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，判别式是b^2-4ac
那么在这里的判别式就是[2(a+1)]^2-4*1*(a^2-1)=4a^2+8a+4-4a^2+4=8a+8<0
8a+8<0所以a<-1
再看会不会B中有0,4这样的元素
如果B中有0，那么0就是方程的解，代入方程得到0^2+2(a+1)*0+a^2-1=0，a^2-1=0，所以a=1或-1。a=1则方程变为x^2+4x=0，这时候B和A完全一样，符合A∩B=B的要求（两个完全一样集合的公共部分当然就是它们自己）。a=-1则方程变为x^2-4x=0，这时候方程的解除了0还有个4，那A∩B=B就不满足啦，所以a=-1不行
如果B中有-4，那么-4就是方程的解，代入方程得到(-4)^2+2(a+1)*(-4)+a^2-1=0，a^2-8a+7=0，座椅a=1或a=7。a=1就和上面一样啦，a=-7则方程变为x^2+16x+48=0，这时候方程的解除了-4还有个-12，A∩B=B就不满足啦，所以a=-7不行
所以最后问题④的答案是a<-1或a=1，如果忘记了a=1的情况是不对滴~~~
最后补充一点，从问题④可以看出来有一条性质的特殊情况，也就是A=B那么就同时有A⊆B和B⊆A

Answer 2

把交、并、包含于概念弄清楚就好理解了，画图更有利于理解，至于问题④，因为X²+2（a+1）x+a²-1=0是一元二次方程，判别式△=b^2-4ac<0说明方程无实数根，即为空集，不明白可以继续来问

Answer 3

额，这个首先∩这个符号是交集的意思，就是说他们的公共部分，有点像韦恩图的圆的重合部分。
∪是两者相加的合成部分，即为“和”的意思，这个真的要自己想懂

Answer 4

集合A={1,a,a^2},集合B={1,b,b^2},若A=B,求1+a^2+b^2的值。 集合A={1,a,a^2},集合B={1,b,b^2} 若A=B 下面分类讨论:

Answer 5

你的问题1,2,3是怎么回事判断？

追问

问题①A∩Φ=Φ；A∩B ⊆ A；A∩B⊆B；若A⊆B，则A∩B=A
问题②A∪Φ=A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）；若A⊆B，则A∪B=B
问题③A⊆B→A∩B=A；A⊆B→A∪B=B
问题④设A={X|x²+4X=0｝，B=｛X²+2（a+1）+a²-1=0｝，如果A∩B=B求a的取值范围？
该解题步骤中为什么：B为空集时
X²+2（a+1）x+a²-1=0， 判别式<0
4A^2+8A+4-4A^2+4<0
A<-1

追答

才看明白，从第四个问题开始说起：解得A={0，-4}，因为A∩B=B，说明B的范围小于A，所以B可以为{0}或者{-4}或者Φ。分别把B={0}和B={-4}带入问题①②③中，都有不满足的情况。现在剩下B=Φ时，说明B无解，所以判别式<0，即4(a+1)^2-4(a^2-1)<0,解得a<0。