Question

已知cosα=-3/根号10,tanβ=2,α∈(0,π),β∈(0,π)

1，求函数f（x）=根号2sin（x-α）+cos（x+β）的最大值
2，求α+β的值

Answer 1

∵cosα=-3/根号10，α∈(0,π）
∴sinα=1/√10
∵tanβ=2
∴sinβ=2cosβ,代入sin²β+cos²β=1
得：cos²β=1/5
∵β∈(0,π),tanβ=2 ∴β∈(0,π/2)
∴cosβ=√5/5,sinβ=2√5/5
∴f(x)=√2(sinxcosα-cosxsinα)+cosαxcosβ-sinxsinβ
=√2(-3/√10 sinx-1/√10cosx) + √5/5*cosx-2√5/5*sinx
=-√5sinx
x=2kπ-π/2,k∈Z时，f(x)取得最大值√5
2
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-3/√10*√5/5-1/√10*2√5/5=-√2/2
∵cosα=-3/√10<-√2/2 α∈(0,π), ∴3π/4<α<π
∵β∈(0,π/2) ∴3π/4<α+β<3π/2
∴α+β=5π/4

Answer 2

第一问：
sina=1/√10
sinb=2/√5
cosb=1/√5

f(x)=√2sin(x-a)+cos(x+β)
=√2sinx*cosa-√2cosxsina+cosxcosb-sinxsinb
=-3sinx/√5-cosx/√5+cosx/√5-2sinx/√5
=-√5sinx

第二问：
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
=√2/10-3√2/5
=-√2/2
a是第二象限角，b是第一象限角
a+b为负，是第三象限角，故a+b=5π/4