Question

求（x+1)/x^2+x+1的不定积分

（x+1)/（x^2+x+1）

Answer 1

∫（x-1)/dx=∫［x/(x^2+1)-1/(x+1)]dx=1/2*log(x^2+1)-log(x+1)+C。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′= f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

解释：

根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间［a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

令x＋1/2＝t，则：dx＝dt。
∴∫［（x＋1）/（x^2＋x＋1）］dx
＝∫｛［（x＋1/2）＋1/2］/［（x^2＋x＋1/4）＋3/4］｝dx
＝∫｛［（x＋1/2）＋1/2］/［（x＋1/2）^2＋3/4］｝d（x＋1/2）
＝∫［（t＋1/2）/（t^2＋3/4）］dt
＝∫［t/（t^2＋3/4）］dt＋（1/2）∫［1/（t^2＋3/4）］dt
＝（1/2）∫［1/（t^2＋3/4）］d（t^2＋3/4）＋（1/2）×（4/3）∫｛1/［（2t/√3）^2＋1］｝dt
＝（1/2）ln（t^2＋3/4）＋（2/3）×（√3/2）∫｛1/［（2t/√3）^2＋1］｝d（2t/√3）
＝（1/2）ln［（x＋1/2）^2＋3/4］＋（√3/3）arctan（2t/√3）＋C
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）＋（√3/3）arctan［2（x＋1/2）/√3］＋C
＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）＋（√3/3）arctan［（2x＋1）/√3］＋C。

Answer 3

（x^3-x-2）/x^3

追问

要过程