Question

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论......

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：

①x1=2 ,x2=3
②m>-1/4
③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图像与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0）
其中，正确结论的个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案是C，请问为什么（较详细过程，每个选项最好都分析一下）。

Answer 1

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m，即x^2-5x+6-m=0
有实数根X1，X2且X1≠X2，即判别式△=（-5）^2-4X(6-m)=25-24+4m=1+4m＞0
即m＞-1/4
所以②是正确的
利用判别式公式求根，得
X1=[-（-5）+根号（1+4m）]/2=[5+根号（1+4m）]/2
X2=[-（-5）-根号（1+4m）]/2=[5-根号（1+4m）]/2
则①是错误的
二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m
其中m=(x-2)(x-3)
代入得y-m=(x-x1)(x-x2)
y-(x-2)(x-3)=(x-x1)(x-x2)
与x轴有交点，即y=0
所以0-（x-2）(x-3)=(x-x1)(x-x2)
-x^2+5x-6=x^2-(x1+x2)x+x1x2

追问

那请问③为什么对啊？

追答

那个③没写错吧 感觉有点不对劲

追问

绝对没错，而且照你的分析来看，③肯定是对的，但为什么啊？

追答

第③重讲
因为二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m
其中m=(x-2)(x-3)有两个根x1,x2且x1≠x2
即这两个根满足m=(x-2)(x-3)这个式子，即m=(x1-2)(x2-3)
与x轴有交点，即y=0
所以二次函数y=(x-x1)(x-x2)+(x1-2)(x2-3)
0-(x-x1)(x-x2)=(x1-2)(x2-3)
-(x1-x)(x2-x)=(x1-2)(x2-3)
所以(x1-x)(x2-x)=（x1-2）(x2-3)=0
所以x=2或x=3
即二次函数与x轴交点为（2,0）（3,0）

Answer 2

①错，x1=2,x2=3是方程(x-2)(x-3)=0的两根，而代入(x-2)(x-3)=m，只有m=0时才成立；

②对，(x-2)(x-3)=m
化简整理得x²-5x+6-m=0,

△=25-24+4m＞0，
解得m＞-¼；

③对，∵(x-2)(x-3)=m
化简整理得x²-5x+6-m=0,
由韦达定理得x1+x2=5, x1*x2=6-m,
∴y=(x-x1)(x-x2)+m
=x²-5x+6-m+m
=x²-5x+6
与X轴交于(2,0)和(3,0)。

Answer 3

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2 ,x2=3 ；②m>-1/4 ；③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图像与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0）；其中，正确结论的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：x²-5x+6-m=0；
Δ=25-4(6-m)=1+4m>0，即m>-1/4.......②正确；
x₁+x₂=5； x₁x₂=6-m；由此可见，只有m=0 时才有x₁=2，x₂=3；在m值不确定的情况下，x₁≠2，x₂≠3；即结论①是错的；
③是正确的！因为x₁，x₂是方程x²-5x+6-m=0的根；如果二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图像与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0)，那么2和3就是方程x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂+m=0的根；即有
4-2(x₁+x₂)+x₁x₂+m=0及9-3(x₁+x₂)+x₁x₂+m=0；后式减前式得5-(x₁+x₂)=0，即有
x₁+x₂=5；两式相加得13-5(x₁+x₂)+2x₁x₂+2m=13-25+2x₁x₂+2m=0，于是有x₁x₂=6-m；
这与前面的分析是相符的。
故应选C。