Question

已知:如图,平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴正半轴上运动，顶点D在y轴上运动

（点A，D都不与原点重合），B,C都在第一象限，对角线AC，BD交于点P，连接OP
问：当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA

Answer 1

证明：从P作PM垂直X轴于M，作PN垂直Y轴于N
PM⊥X轴，PN⊥Y轴，所以PM⊥PN，∠MPN=90
P为正方形对角线交点，所以∠DPA=∠MPN=90，且AP=DP
∠MPA=∠DPA-∠DPM
∠NPD=∠MPN-∠DPM
因此∠MPA=∠NPD
在△MPA和△NPD中
∠MPA=∠NPD
∠AMP=∠DNP=90
AP=DP
所以△MPA≌△NPD。PM=PN
四边形OMPN中∠MON=∠PMO=∠PNO=90，因此为矩形
且PM=PN，矩形一组邻边相等，因此为正方形
OP为正方形OMPN对角线，因此∠DOP=45
因为∠DOA=90，所以OP平分∠DOA

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答：
本题不用四点共圆，也想知道其它证明方法；
∵AC与BD是正方形对角线，∴∠APD＝90度，
∵∠AOD＝90度，∴A、O、D、P四点共圆，（或以AD为直径的圆过O、P）
∵PA＝PD（正方形对角线相等且互相平分），∴弧PA＝弧PD，
∴∠POD＝∠POA（等弧所对的圆周角相等），
∴OP平分∠DOA

追问

四点公园没学

追答

以AD为直径画圆，
∵∠APD＝∠AOD＝90度，
∴P、D在以AD为直径的圆上。——用这个来说明四点共圆说得通。
以下相同。