已知:如图,平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在x轴正半轴上运动,顶点D在y轴上运动
(点A,D都不与原点重合),B,C都在第一象限,对角线AC,BD交于点P,连接OP问:当OA<OD时,求证:OP平分∠DOA...
(点A,D都不与原点重合),B,C都在第一象限,对角线AC,BD交于点P,连接OP
问:当OA<OD时,求证:OP平分∠DOA 展开
问:当OA<OD时,求证:OP平分∠DOA 展开
2个回答
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证明:从P作PM垂直X轴于M,作PN垂直Y轴于N
PM⊥X轴,PN⊥Y轴,所以PM⊥PN,∠MPN=90
P为正方形对角线交点,所以∠DPA=∠MPN=90,且AP=DP
∠MPA=∠DPA-∠DPM
∠NPD=∠MPN-∠DPM
因此∠MPA=∠NPD
在△MPA和△NPD中
∠MPA=∠NPD
∠AMP=∠DNP=90
AP=DP
所以△MPA≌△NPD。PM=PN
四边形OMPN中∠MON=∠PMO=∠PNO=90,因此为矩形
且PM=PN,矩形一组邻边相等,因此为正方形
OP为正方形OMPN对角线,因此∠DOP=45
因为∠DOA=90,所以OP平分∠DOA
PM⊥X轴,PN⊥Y轴,所以PM⊥PN,∠MPN=90
P为正方形对角线交点,所以∠DPA=∠MPN=90,且AP=DP
∠MPA=∠DPA-∠DPM
∠NPD=∠MPN-∠DPM
因此∠MPA=∠NPD
在△MPA和△NPD中
∠MPA=∠NPD
∠AMP=∠DNP=90
AP=DP
所以△MPA≌△NPD。PM=PN
四边形OMPN中∠MON=∠PMO=∠PNO=90,因此为矩形
且PM=PN,矩形一组邻边相等,因此为正方形
OP为正方形OMPN对角线,因此∠DOP=45
因为∠DOA=90,所以OP平分∠DOA
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俊狼猎英团队为您解答:
本题不用四点共圆,也想知道其它证明方法;
∵AC与BD是正方形对角线,∴∠APD=90度,
∵∠AOD=90度,∴A、O、D、P四点共圆,(或以AD为直径的圆过O、P)
∵PA=PD(正方形对角线相等且互相平分),∴弧PA=弧PD,
∴∠POD=∠POA(等弧所对的圆周角相等),
∴OP平分∠DOA
本题不用四点共圆,也想知道其它证明方法;
∵AC与BD是正方形对角线,∴∠APD=90度,
∵∠AOD=90度,∴A、O、D、P四点共圆,(或以AD为直径的圆过O、P)
∵PA=PD(正方形对角线相等且互相平分),∴弧PA=弧PD,
∴∠POD=∠POA(等弧所对的圆周角相等),
∴OP平分∠DOA
追问
四点公园没学
追答
以AD为直径画圆,
∵∠APD=∠AOD=90度,
∴P、D在以AD为直径的圆上。——用这个来说明四点共圆说得通。
以下相同。
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