Question

已知;如图△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D点,EF垂直平分AD交BC的延长线于E。求证：DE^2=BE*CE

Answer 1

连接AE
因为EF是AD的垂直平分线，所以DE=AE
所以∠ADE=∠DAE
又因为∠ADE=∠B+∠DAB
∠DAE= ∠CAE+ ∠DAC
AD是△ABC的角平分线,所以∠DAB=∠DAC
所以∠B=∠CAE 又因为∠CEA是△CEA和△AEB的公共角
所以△CEA和△AEB相似
所以AE/BE=CE/AE
即AE^2=CE×BE
因为DE=AE
所以DE^2=CE×BE

追问

我仔细研究研究

Answer 2

证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD,
又因为EF垂直平分AD, 所以AE=DE,∠ADE=∠EAD,
因为∠ADE=∠B+∠BAD,∠EAD=∠EAC+∠CAD,
所以 ∠B=∠EAC,又∠AEC=∠BEA,
所以△ABE相似△CAE,则AE:CE=BE:AE,即AE^2=BE*CE,
又AE=DE，所以DE^2=BE*CE。

Answer 3

先证明△ABE∽三角形ACE，关键点是是证明∠ABE=∠CAE
（∠AEB=2（90°-∠FAE）=180°-∠BAC-∠CAE-∠CAE=180°-∠BAC-∠CAE-∠ABE，所以∠ABE=∠CAE）

由于相似，所以AE：BE=CE：AE，所以AE²=BE×CE，所以DE²=BE×CE

Answer 4

∠B=∠ADE-∠BAD=∠DAE-∠DAC=∠CAE
所以ABE∽△ACE
从而
AE^2=BE*CE，又因为AE=DE
故
DE^2=BE*CE