Question

长度为2L的细直线上，均匀分布着电荷q,(1)求其延长线距离线段中心为x处（x>L）的电势（设无穷远处为电势零

（2）利用电势梯度求该点的电场强度；
例2，一个接地的导体球，半径为R，在与球心相距为r处有一个正的点电荷Q，求导体球外表面上的感应电荷q;
例3，设有半径为R的均匀带电球体，其自由电荷密度a为常量，球的介电常数为b，它处于介常数为c的无限大介质中。求球内和球外任一点的电场强度。

Answer 1

(1)积分法：电势U=∫k(dQ/r) (从x-l积到x+l处）
∴U=∫k (q/2L)×(dr/r) (q/2L为其线电荷密度）
∴U=(kq/2L) [㏑(x+L)-㏑(x-L)]
=(kq/2L)㏑(x+L/x-L)

(2)首先，球心处电势为0（因为接地）球又为等势体，内部无电荷。
∴外表面电荷kq/R=kQ/r(且q为负电荷）（R＜r)
∴q=RQ/r

(3)球外,距球心x处，相当于电荷集中于球心处
∴E=ka×4πR^3/3xc
球内，距球心x处，在x处外部的球冠由于电荷均匀分布，对内球的E=0
而x处内部的小球产生的场强为E=ka×4πx^3/3xb=ka×4πx^2/3b

很长时间没做物理竞赛题了，有不对的地方还请指正。