Question

高等代数：已知a1,a2,a3,a4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若b1=a1+ta2,b2=a2+ta3,b3=a3+ta4,

b4=a4+ta1,讨论实数t满足什么关系时，b1,b2,b3,b4也是AX=0的一个基础解系

Answer 1

知识点: 设矩阵A=BC, B列满秩, 则 r(A)=r(C)
参考: http://zhidao.baidu.com/question/312151263.html

解: 由已知, (b1,b2,b3,b4)=(a1,a2,a3,a4)K
其中 K =
1 0 0 t
t 1 0 0
0 t 1 0
0 0 t 1
|K| = 1-t^4
因为a1,a2,a3,a4线性无关
所以 r(b1,b2,b3,b4)=r(K) --上述知识点

由于b1,b2,b3,b4是a1,a2,a3,a4的线性组合, 所以是AX=0的解.
所以
b1,b2,b3,b4是AX=0的基础解系
<=> b1,b2,b3,b4线性无关
<=> r(b1,b2,b3,b4)=4
<=> r(K)=4
<=> |K|≠ 0
<=> t^4 ≠ 1
<=> t^2 ≠ 1 [已知t是实数]
<=> t ≠ ±1